Matematika A4 - Valószínűségszámítás

I. Eseménytér, valószínűségek tulajdonságai, eseményalgebra. Kombinatorika (Galton deszka, Pascal háromszög, permutáció, kombináció, variáció). A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle modellje, a valószínűség elemi tulajdonságai: (véges és megszámlálhatóan végtelen) additivitás, monotonitás, komplementer esemény valószínűsége, események összegének (uniójának) valószínűsége.

II. Feltételes valószínűség. Kettő vs. több esemény függetlensége. Szorzatszabály. Bayes-tétel, Teljes valószínűség tétele.

III. A valószínűségi változó fogalma. Diszkrét eloszlások (súlyfüggvény) tulajdonságai, nevezetes diszkrét eloszlások (egyenletes, Bernoulli, binomiális, hipergeometriai, geometriai, negatív binomiális, Poisson). Binomiális és hipergeometriai (vissszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel) összehasonlítása. Binomiális és Poisson összevetése, illetve binomiális közelítése Poissonnal.

IV. Diszkrét várható érték, szórás, módusz, medián. Nevezetes diszkrét eloszlások várható értéke, szórása. Kovariancia, korreláció. Függetlenség és korreláció kapcsolata.

V. Folytonos eloszlások. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény: valószínűségek kapcsolata a sűrűség- és az eloszlásfüggvénnyel. Eloszlásfüggvény analitikus tulajdonságai.  Nevezetes folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális, normális). Egyenletes eloszlás mint arányosság, exponenciális eloszlás örökifjúsága. Alkatrészek élettartamának modellezése exponenciális és normális eloszlással.

VI. Poisson folyamat. A Poisson és az exponenciális eloszlás kapcsolata (egy adott intervallumon bekövetkező események számának eloszlása vs. az események között eltelt idő). Exponenciálisok összege: gamma eloszlás egész paraméterre (Erlang).

VII. Várható érték, momentumok, szórás, módusz, medián folytonos esetben. Mintaátlag, tapasztalati szórás. Nagy számok törvényei. De Moivre-Laplace tétele. Poisson közelítése normálissal. Független, azonos eloszlású valószínűségi változók összege, átlaga: centrális határeloszlás.

VIII. Normális eloszláscsalád: létjogosultsága, további alkalmazások. Szigma-szabályok. Standardizálás, valószínűségi változók további transzformációi.

IX. Független valószínűségi változók összege: konvolúció (Bernoullik, binomiálisok, Poissonok, exponenciálisok, egyenletesek összege). Geometriai valószínűségek (két összefüggő egyenletes valószínűségi változó grafikus megjelenítése), diszkrét feltételes eloszlás, vegyes (diszkrét+folytonos eloszlások). 

X. Kétváltozós eloszlások diszkrét és folytonos esetben.  Együttes sűrűség, eloszlás, peremsűrűség, peremeloszlás, feltételes sűrűség, eloszlás. A peremsűrűségek eredeztetése együttes sűrűségből, a feltételes sűrűség kapcsolata az együttes és a peremsűrűséggel. Függetlenség és szorzatszabály. Folytonos valószínűségi változók korrelációja. A peremeloszlások eredeztetése a peremsűrűségekből.

XI. 2D egyenletes eloszlás, 2D normális eloszlás (különböző tartományokon, független és összefüggő esetben). Feltételes várható érték (definíció és szemléletes jelentés) mint valószínűségi változó. Teljes várható érték tétel.

XII.  Lineáris regresszió. Regressziós görbe a legkisebb várható négyzetes hibával: feltételes várható érték. Lineáris regresszió, regressziós egyenes egyenlete. Statisztika: pontbecslések (X valószínűségi változó optimális θ paraméterére vonatkozó becslések). Maximum likelihood becslés. Küszöbindex (minta elemszám) keresése adott pontosság és hiba-valószínűség esetén. Intervallumbecslések várható értékre (ismert és ismeretlen szórás esetén). Konfidenciaszint és konfidenciaintervallum definíciója, szemléletes jelentése.

XIII. Kiegészítő előadás