Kockázatelemzés és -kezelés

1. Lineáris egyenletrendszerek és megoldhatóságuk, speciális mátrixok (egységmátrix, diagonális
mátrix, unitér mátrix), mátrixok felcserélhetősége
2. Szinguláris értékek szerinti felbontás és grafikus értelmezése, szinguláris értékek szerinti
felbontás és lineáris egyenletrendszerek kapcsolata, lineáris mátrixegyenletek, Kronecker szorzat,
Sylvester egyenlet és megoldása Kronecker szorzat segítségével
3. Spektrális felbontás, diagonalizálhatóság, spektrálfelbontás diadikus alakja, spektrális felbontás
kiszámítása, iteratív módszer a domináns sajátérték és sajátvektor számítására, spektrális
felbontás alkalmazása mátrix függvények számítására
4. Valószínűségi változók megadása (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, súlyfüggvény),
valószínűségi változók legfontosabb paraméterei (momentumok, szórásnégyzet, kumulánsok),
teljes valószínűség tétele és alkalmazása. Transzformált függvények (karakterisztikus függvény,
momentum generáló függvény, stb.). Nem független valószínűségi változók megadása (együttes
eloszlás, együttes sűrűségfüggvény, együttes súlyfüggvény, marginális eloszlás). Normális eloszlás,
standard normális eloszlás, többdimenziós normális eloszlás és konstrukciója független normális
eloszlások segítségével
5. Cash-flow menedzsment probléma és változatai, brute force megoldás. Eloszlásokra vonatkozó
eltérés tételek és alkalmazásuk: Markov egyenlőtlenség, Chebysev egyenlőtlenség, momentum
alapú egyenlőtlenségek
6. Eloszlásokra vonatkozó eltérés tételek és alkalmazásuk: centrális momentum alapú
egyenlőtlenségek, Chernoff korlát, Chernoff korlát és momentum korlát viszonya, Cantelli
egyenlőtlenség
7. Centrális határeloszlás tétel és alkalmazása, mintavételezési eljárások, Li-Sylvester módszer,
véletlen mintavételezés (Monte Carlo szimuláció) és alkalmazása a kockázat becslésére, rétegzett
mintavétel és hatása a becslés bizonytalanságára
8. Portfólió modellek optimalizálása, lehetséges célfüggvények. Stacioner multinormális eset
definíciója és paramétereinek (várható érték, kovariancia mátrix) meghatározása. Portfólió
optimalizálás a kockázat minimalizálására és ennek közelítése.
9. Portfólió modell várható értékének és kovariancia mátrixának becslése minták alapján, a becslés
on-the-fly számítása.
10. Mean reverting portfólió optimalizálása: Orsntein-Uhlenbeck modell definició, integrális és
differenciális megadás és ezek kapcsolata. Autoregresszív modell stacionáris normális speciális
esete, a stabilitás feltétele, kovariancia mátrix meghatározása az időbeli megadás alapján
11. Optimális portfólió a becsülhetőségi tényező alapján, modell identifikáció, kereskedési
algoritmus mean reverting portfólió esetén
12. Pénzügyi opciók árazásának matematikai modelljeinek alapjai: egyszintű binomális árazási
modell, Black-Scholes modell feltételezései és alapegyenlete
13. Általános bináris fa alapú modell, binomiális árazási modell matematikai leírása, opció
árazásának számítása, közvetítési díj nélküli eset árazása európai és amerikai típusú opciók esetén
14. Black-Scholes modell levezetése, az opció árának eloszlása és várható értéke
A gyakorlatok/laborok részletes tematikája
1. Python alapok
2. Python gyakorlás
3. Jordan felbontás, centrális határeloszlás tétel alkalmazása
4. Lineáris egyenletrendszerek megoldása, szinguláris értékek szerinti felbontás
5. Cash-flow menedzsment probléma megoldása brute force modszerrel
6. Cash-flow menedzsment probléma közelítő megoldása I. - Markov, centrális határeloszlás tétel
7. Cash-flow menedzsment probléma közelítő megoldása II. - Chernoff korlát
8. Cash-flow menedzsment probléma közelítő megoldása III. - Li-Silvester becslés
9. Cash-flow menedzsment probléma megoldási módszereinek összehasonlítása
10. Portfólió kockázatának minimalizálása - közelítő probléma megoldása
11. Optimalizálási módszerek alkalmazása a mean-reverting portfólió modellre
12. Portfólió kockázatának minimalizálása - az eredeti probléma megoldása
13. Autoregresszív modell identifikáció
14. Binomiális árazási modell