Matematika A1a - Analízis

Valós számok

Komplex algebra

Algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak.

Műveletek komplex számokkal. (Összeadás, kivonás, szorzás, osztás, komplex konjugálás, hatványozás).

Vektoralgebra

Sík- és térvektorok, vektorműveletek, koordináta-mentes és koordinátás értelmezés.

Műveleti tulajdonságok. Analitikus geometriai alapfeladatok.                           4 óra

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazalgebrai műveletek.

Korlátos számhalmazok maximuma, minimuma; suprémuma, infimuma.

Valós számsorozatok

Valós számsorozat definíciója, jelölése, megadási módjai.

Részsorozat, monoton sorozat, korlátos sorozat értelmezése és tulajdonságai.

Számsorozat határértéke. Konvergens sorozat korlátos.

Konvergencia-vizsgálatot könnyítő néhány tétel.                                           4 óra

Néhány nevezetes határérték.

Számsorozat sűrűsödési értékei ( torlódási pontjai), és a kapcsolódó fogalmak.

Egyváltozós valós függvények

Valós számhalmazon értelmezett való értékű függvények értelmezése, szemléltetése; műveletek függvények körében.    Függvények néhány tulajdonsága (korlátosság, monotonitás, periodikusság, páros-páratlanság, konvexitás-konkávitás).           4 óra

Határérték   

Egyváltozós valós függvény határértéke a végesben és a végtelenben. Jobb- és baloldali határérték. Műveletek határértékkel (algebrai műveletek, összetett függvény határértéke).

Néhány nevezetes függvény határérték                                                                 4 óra

Pontbeli folytonosság; intervallumbeli folytonosság és egyenletes folytonosság értelmezése.

Jobb- és baloldali folytonosság.

Műveletek folytonos függvényekkel (algebrai műveletek; összetett és inverz függvény folytonossága). Korlátos, zárt intervallumban folytonos függvények néhány tulajdonsága.

Szakadási hely értelmezése, osztályozása (megszüntethető szakadási hely, ugráshely, másodfajú szakadás).         4 óra

Differenciálszámítás

Differenciálhatóság fogalma: pontban, intervallumban.

Jobb- és baloldali differenciálhatóság; differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.

Differenciál fogalma.

Differenciálási szabályok.   4 óra

Differenciálszámítás középértéktételei .

Deriváltfüggvény és tulajdonságai. Magasabbrendű deriváltak értelmezése, szabályai

Elemi függvények és inverzeik értelmezése, fontosabb tulajdonságai és differenciálása (hatványfüggvény, gyökfüggvény; exponenciális függvény, logaritmusfüggvény; trigonometrikus függvények, arcus függvények; hiperbolikus függvények, area függvények).    4 óra

Differenciálszámítás alkalmazásai.

Határérték meghatározás differenciálható függvények esetén: L’Hospital tétel.

Aszimptota egyenes

Lokális és globális függvényvizsgálat differenciálható függvények esetén (növekedés-csökkenés; konvexitás-konkávitás; inflexió; lokális és abszolút szélsőérték).        4 óra

Szélsőérték keresés. Gyökkeresés Newton-módszerrel.

Paraméter és polárkoordináta.

Síkgörbék paraméteres és polárkoordinátás megadása.

Formális deriváltak kiszámítása számítógéppel.                                               4 óra

Integrálszámítás

Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma és fontosabb tulajdonságai. Primitív függvény keresés néhány egyszerű módja.

Alapintegrálok                                                                                                         4 óra

Határozott integrál

Alapfogalmak. (Felosztás és annak finomítása; alsó, felső közelítő összeg, integrálközelítő összeg).

Határozott integrál definíciója (alsó, felső közelítő összeggel ill. integrálközelítő összeggel).

Folytonos vagy monoton függvény integrálható.

Határozott integrál kiszámítása; Newton-Leibniz tétel.

Határozott integrál néhány tulajdonsága.                                                              4 óra

Határozott integrál középértéktétele.

Az integrálfüggvény fogalma, folytonossága.

Integrálfüggvény és primitív függvény kapcsolata.

Improprius integrálok értelmezése, abszolút és feltételes konvergenciája.

Improprius integrálokra vonatkozó Cauchy-kritérium, majoráns és minoráns kritérium.

Az integrálási szabályok általánosítása improprius integrálokra.                         4 óra

Integrálási módszerek    

Trigonometrikus függvények szorzatának integrálása.

Parciális integrálás.

Teljes négyzetté való kiegészítéssel alapintegrálokra való visszavezetés.

Racionális törtfüggvények integrálása.

Helyettesítéses integrálás         4 óra.                                                                                      

Az integrálszámítás alkalmazásai    

Integrálszámítás geometriai alkalmazásai.

Görbe alatti, görbék közti, ill. szektorterület.

Forgástest térfogata. Ívhossz értelmezése és meghatározása. Forgásfelület felszíne. Súlypont.

Trapézformula, Simpson-formula. Határozott integrálok kiszámítása számítógéppel.        4 óra