Matematika A2a - Vektorfüggvények

A lineáris egyenletrendszerek megoldása

Együttható- és kibővített mátrix. Elemi sorműveletek. Gauss-Jordan és Gauss-kiküszöbölés. Az általános megoldás, mint az oszlopvektorok lineáris kombinációja. Lineáris egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása. A megoldáshalmaz geometriai szemléltetése. Homogén lineáris egyenletrendszer. Kerekítési hibák.

Alkalmazások: Lineáris egyenletrendszerek a globális helymeghatározásban (GPRS), Kirchoff-törvények, hálózatok analízise, polinom-interpoláció.                                                                                              4 óra

Mátrixaritmetika

Speciális mátrixok, sor- és oszlopvektorok. Mátrixműveletek és tulajdonságaik. A mátrixszorzás, mint lineáris kombináció. Transzponált, nyom. Mátrix rangja. Mátrix inverze és ennek meghatározása. Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással. Az egyenletek számának szerepe.

Alkalmazások (mátrixmodellek): Leontyiev közgazdasági input-output modellje. Elemi példa dinamikus rendszerekre és Markov-láncokra.                                                                                                        4 óra

Determinánsok

Determináns. Kifejtés 2×2-es és 3×3-as esetben. A determináns geometriai jelentése. Speciális alakú determinánsok értéke. A determináns kifejtése. Determinánsok tulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-kiküszöböléssel. Formula mátrix inverzére. Cramer-szabály. Polinom-interpoláció és Vandermonde-determináns.                                                                                                                                         4 óra

Lineáris tér

Lineáris tér axiómái és geometriai jelentesük. Mátrixterek, függvényterek. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér, generátorrendszer, bázis. Báziscsere, az áttérés mátrixa. Nem véges dimenziós lineáris tér létezése. Euklideszi terek. Metrikus és normált tér. Normált tér szerkezete és geometriája. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorász-tétel.

Alkalmazások: Normák és approximációk, legjobb közelítés. Görbe illesztése mért adatokra. Legkisebb négyzetek módszere.                                                                                                                                4 óra

Lineáris operátorok és mátrixok

Lineáris operátor és transzformáció definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés) és mátrixuk. Limes, deriválás, integrálás, mint lineáris operátorok. Magtér, képtér. Dimenziótétel. Inverz. Mátrixtranszformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság.

Alkalmazások: 3-dimenziós grafika. Komputer grafika. Hatványmódszer, keresés az interneten, a Google működése. Lineáris differenciálegyenletek elméletének alapjai. Kvadratikus alakok, kúpszeletek osztályozása.

                                                                                                                                                                  4 óra

Numerikus sorok

Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Összefésülés. Konvergenciakritériumok. Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok átrendezése, Riemann tétel. Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.

Alkalmazások: Elemi függvények értékeinek kiszámítása, becslése.                                                        6 óra

Függvénysorozatok, -sorok

Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.

Hatványsorok

Konvergenciaintervallum. Analicitás. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Formális Taylor-sor. Hatványsor és Taylor-sor. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Függvény és Taylor-sora: formális Taylor-sor konvergenciája, függvény előállítása Taylor-sorával. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-sorfejtés technikája.

Alkalmazások: Taylor-sor a közelítő számításokban. Az elemi függvények értékeinek kiszámítása és fontos matematikai állandók numerikus értékeinek meghatározása, a zsebszámológépek működése. Integrálás, határértékszámítás, differenciálegyenletek közelítő megoldása sorfejtéssel.

Fourier-sorok

Trigonometrikus és Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Fourier-sor n-edik szelete, mint a négyzetesen legjobban közelítő trigonometrikus polinom. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.

Alkalmazások: Periódikus mozgások vizsgálata. Tranziensek és felharmónikusok. Hangtani alkalmazások: hang felbontása, szintetizálása.                                                                                                                         12 óra

Alapfogalmak

Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia. Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Vektorfüggvények és megadásuk. Többváltozós függvény fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények és vektorfüggvények határértéke és folytonossága.

Alkalmazások: Skalár-vektor függvény (pl. hőmérséklet), vektor-skalár függvény (pl. mozgás pályája idő függvényeként), vektor-vektor függvény (pl. erőtér, folyadék, gáz áramlási sebessége a tér pontjaiban, geometriai transzformációk).                                                                                                                       4 óra

Differenciálszámítás

Vektorfüggvények differenciálhatósága. Speciális esetek: gradiens, deriváltvektor. A Jacobi mátrix, Jacobi determináns. Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai szemléltetés. Szintfelületek. Másodrendű felületek szemléltetése szintvonalaikkal. Folytonos deriválhatóság. Láncszabály, középértéktétel, Young tétel. Differenciál, függvény lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése. Lokális és tartományi szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. Nyeregpont.

Alkalmazások: A természet- és humán tudományok által vizsgált mennyiségek vizsgálata a deriváltak segítségével. Ekvipotenciális felületek. Optimumszámítási modellek.                                                       8 óra

Integrálszámítás

Jordan mérhetőség és terület, tulajdonságaik. Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál kiszámítása: kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása. Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polárkoordinátákra való áttérés. Jacobi-determináns.

Alkalmazások: Alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása nem egyenletes anyagsűrűség esetén. Nyomaték, tömegközéppont, súlypont.                                                                 6 óra