Matematika A2 villamosmérnököknek

Mathematics A2 for Electrical Engineers

A tantárgyleírás hatályossága

Hatályosság kezdete:

2026. March 21.

Hatályosság vége:

—

Tantárgy neve (magyarul, angolul)

Matematika A2 villamosmérnököknek

Mathematics A2 for Electrical Engineers

Tantárgykód

BMETE90AX59

Tantárgyjelleg

—

Képzési szint

—

Kurzustípusok és óraszámok (heti/féléves)

Kurzustípus	elmélet	gyakorlat	laboratóriumi gyakorlat
óraszám (heti)	4	2	0
jelleg (kapcsolt/önálló)	—	kapcsolt	—

Tanulmányi teljesítmény/értékelés típusa

vizsga

Tantárgy kreditértéke

Tantárgyfelelős

DR. Pitrik József

beosztás: egyetemi docens

elérhetőség: pitrik.jozsef@ttk.bme.hu

Tantárgyat gondozó oktatási szervezeti egység

Matematika Intézet

Kar

Természettudományi Kar

Tantárgy weboldala

www.math.bme.hu/~pitrik

Tantárgy elsődleges mintatantervi jellege

—

Közvetlen előkövetelmények – Erős előkövetelmény

nincs

Közvetlen előkövetelmények – Gyenge előkövetelmény

nincs

Közvetlen előkövetelmények – Párhuzamos előkövetelmény

nincs

Közvetlen előkövetelmények – Mérföldkő előkövetelmény

nincs

Közvetlen előkövetelmények – Kizáró feltétel

nincs

Célkitűzés

Tantárgyprogram

LINEÁRIS ALGEBRA
Lineáris terek
Lineáris tér axiómái és geometriai jelentésük. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér,
generátorrendszer, bázis, dimenzió (ismétlés). Báziscsere, az áttérés mátrixa. Metrikus és normált tér.
Euklideszi terek. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorasz-
tétel.
Lineáris operátorok
Lineáris operátor definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés)
és mátrixuk, egyéb lineáris transzformációk (pl. deriválás) és mátrixuk. Magtér, képtér. Dimenziótétel.
Inverz. Báziscsere transzformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata.
Spektráltétel
Karakterisztikus polinom. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok (önadjungált, unitér stb.) sajátértékei
és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság. Főtengelytétel. Kvadratikus alakok osztályozása.
Mátrixfüggvények
Mátrixok függvényeinek értelmezése. Mátrixok exponenciális függvénye és meghatározásának
módszerei.
Improprius integrál és alkalmazásai
Az impromprius integrál. A határozott integrál matematikai és fizikai alkalmazásai. (terület, forgástest
térfogata, felszíne, integrálkritérium sorokra, súlypont, tehetetlenségi nyomték stb.) Példák.
VÉGTELEN SOROK
Numerikus sorok
Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Konvergenciakritériumok.
Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok szorzata. Sorok átrendezése, Riemann-tétel.
Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.
Függvénysorozatok, függvénysorok
Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az
egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a
sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.
Hatványsorok
Konvergenciaintervallum. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Hatványsor és Taylor-sorkapcsolata. Taylor
polinom, Lagrange maradéktag. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-
sorfejtés technikája. Binomiális sorok.
Fourier-sorok
Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan
függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.
Parseval-formula. Komplex Fourier-sorok.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
Alapfogalmak
Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia.
Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Többváltozós függvény
fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények határértéke és folytonossága.

Differenciálszámítás
Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai
szemléltetés. Magasabb rendű deriváltak, középértéktétel, Young-Schwarz tétel. Differenciál, függvény
lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a
parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése.
Többváltozós szélsőérték
Lokális és abszolút szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek.
Nyeregpont. Feltételes szélsőérték, Lagrange-féle multiplikátoros módszer.
Többváltozós függvények integrálása
Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál kiszámítása:
kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása (Fubini-tétel).
Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polár-, henger- és gömbi koordináták. Jacobi-
determináns. Alkalmazások: alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása
nem egyenletes anyagsűrűség esetén. Tömegközéppont.

A villamosmérnökök számára szükséges alapvető lineáris algebrai, sorfejtésekre vonatkozó és többváltozós analízisbeli ismeretek elsajátítása.

Tanulmányi eredmények

Ez a tantárgy a KKK rendeletben meghatározott, következő kompetenciák fejlesztését szolgálja:

Tudás

Nincsenek rögzített tanulási eredmények.

Képességek

Nincsenek rögzített tanulási eredmények.

Attitűd

Nincsenek rögzített tanulási eredmények.

Autonómia és felelősség

Nincsenek rögzített tanulási eredmények.

Oktatási módszertan

4 előadás + 2 gyakorlat

Tanulástámogató anyagok

Online források

Thomas-féle kalkulus (TypoTeX, 2006); Anton Busby: Contemporary Linear Algebra (Wiley, 2003); Wettl Ferenc, Lineáris Algebra, (TypoTex)

A tantárgy teljesítéséhez ajánlott előzetes ismeretek

Tudás típusú kompetenciák

(azon előzetes ismeretek összessége, amelyek megléte nem kötelező, de a tantárgy eredményes teljesítését nagyban elősegíti)

Vektoralgebra, egyváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása.

Képesség típusú kompetenciák

(azon előzetes képességek és készségek összessége, amelyek megléte nem kötelező, de a tantárgy eredményes teljesítését nagyban elősegíti)

nincs

Ajánlott (nem kötelező) előzetesen megszerzendő kompetenciák

(azon ajánlott (nem kötelező) előzetesen megszerzendő kompetenciák összessége, amelyek jelentősen hozzájárulnak a tantárgy eredményes teljesítéséhez)

Vektoralgebra, egyváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása.

Általános szabályok

Követelmények: Szorgalmi időszakban: 2 darab 90 perces 60 zárthelyi dolgozat.Az aláírás feltétele, hogy mindkét zárthelyi dolgozaton legalább 40%-os eredményt érjen el a hallgató. Vizsgaidőszakban:írásbeli vizsga.Csak aláírást szerzett hallgató jelentkezhet vizsgára. Pótlási lehetőségek: Egy zárthelyi dolgozat egy alkalommal a szorgalmi időszakban, illetve egy ismételt alkalommal a vizsgaidőszakban pótolható.

Teljesítményértékelési módszerek

Szorgalmi időszakban végzett teljesítményértékelések részletes leírása

Nincs megadva részletes értékelés.

Szorgalmi időszakban végzett teljesítményértékelések részaránya

Nincs megadva részarány.

Vizsgaidőszakban végzett teljesítményértékelések részletes leírása

Nincs megadva részletes értékelés.

Vizsgarészek részaránya

Nincs megadva részarány.

Érdemjegy megállapítása

Nincs megadva érdemjegy határ.

Jelenléti és részvételi követelmények

Nincs megadva jelenléti követelmény.

Javítás, ismétlés és pótlás különös szabályai

Nincs megadva.

Rövid leírás

Nincs megadva.

Részletes leírás

Nincs megadva.

Ajánlott tantárgyak

Kötelező: NEM (TárgyEredmény("BMETE92AM07", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF01", "jegy", _) >= 2) ÉS (TárgyEredmény("BMETE90AX00", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE90AX01", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE901912", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE901913", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE901827", "jegy", _) >= 2 VAGY TárgyEredmény("BMETE93AF00", "jegy", _) >= 2 VAGY kepzes("4N-M7")) ÉS (NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90AX26" , "jegy" , _ ) >= 2 ) VAGY NEM (TargyEredmeny("BMETE90AX26", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0) VAGY NEM Kepzes("5N%") ) A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk. A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található. Ajánlott: Matematika A1a (BMETE90AX00) VAGY Matematika A1b (BMETE90AX01)

A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka

Nincs megadva munkaidő bontás.

Tantárgykövetelmények hatályossága

Tantárgykövetelmények hatályosságának kezdete:

—

Tantárgykövetelmények hatályosságának vége:

—

Tantervi elhelyezés

Nincsenek rögzített tantervi elhelyezések ehhez a tárgyverzióhoz.